LaLaLand/0720 - Revision history

imported>jungfrau at 07:08, 20 July 2017

2017-07-20T07:08:40Z

← Older revision		Revision as of 07:08, 20 July 2017
Line 126:		Line 126:
	* 6.7 Inner Product Spaces		* 6.7 Inner Product Spaces
	* Inner Product Spaces		* Inner Product Spaces
	** 내적이라는것은 알겠으나, 책의 내용을 잘 모르겠음. 좀더 공부한 후에 다시 올리겠습니다		** ~~내적이라는것은 알겠으나, 책의 내용을 잘 모르겠음. 좀더 공부한 후에 다시 올리겠습니다.~~
	~~----~~

imported>jungfrau at 07:07, 20 July 2017

2017-07-20T07:07:42Z

← Older revision		Revision as of 07:07, 20 July 2017
Line 126:		Line 126:
	* 6.7 Inner Product Spaces		* 6.7 Inner Product Spaces
	* Inner Product Spaces		* Inner Product Spaces
	**		** 내적이라는것은 알겠으나, 책의 내용을 잘 모르겠음. 좀더 공부한 후에 다시 올리겠습니다
	~~----~~ 내적이라는것은 알겠으나, 책의 내용을 잘 모르겠음. 좀더 공부한 후에 다시 올리겠습니다		----

imported>jungfrau at 07:07, 20 July 2017

2017-07-20T07:07:19Z

@@ Line 86: / Line 86: @@
 * 6.4 The Gram-Schmdit Process
 * Gram-Schmdit
-** $ R^{n} $의 nonzero subspace 에 orthogonal 혹은 orthogonal basis 를 만드는 알고리즘
+** R^n 의 nonzero subspace 에 orthogonal 혹은 orthogonal basis 를 만드는 알고리즘
 ** 2차원상의 벡터 3차원상의 벡터를 예제로 n차원의 벡터를 일반화 할 수 있게 해줌
-** 일반화 식 : $ v_{n+1}=x_{n+1} - {proj}_{w}_{n} x_{n+1} $
+** 일반화 식 : v(n+1)=x(n+1) - projw(n) x(n+1)

imported>jungfrau at 06:43, 20 July 2017

2017-07-20T06:43:01Z

← Older revision		Revision as of 06:43, 20 July 2017
Line 86:		Line 86:
	* 6.4 The Gram-Schmdit Process		* 6.4 The Gram-Schmdit Process
	* Gram-Schmdit		* Gram-Schmdit
	** $ R^n $ 의 nonzero subspace 에 orthogonal 혹은 orthogonal basis 를 만드는 알고리즘		** $ R^{n} $의 nonzero subspace 에 orthogonal 혹은 orthogonal basis 를 만드는 알고리즘
			** 2차원상의 벡터 3차원상의 벡터를 예제로 n차원의 벡터를 일반화 할 수 있게 해줌
			** 일반화 식 : $ v_{n+1}=x_{n+1} - {proj}_{w}_{n} x_{n+1} $

imported>jungfrau at 06:35, 20 July 2017

2017-07-20T06:35:48Z

← Older revision		Revision as of 06:35, 20 July 2017
Line 81:		Line 81:
	* Properties of Orthogonal Projections		* Properties of Orthogonal Projections
	** p는 W공간에서 y에 가장 가까운 점이 된다. W공간에서 p가 아닌 모든 v에 대해 ∥y-p∥< ∥y-v∥이 성립하기 때문이다.		** p는 W공간에서 y에 가장 가까운 점이 된다. W공간에서 p가 아닌 모든 v에 대해 ∥y-p∥< ∥y-v∥이 성립하기 때문이다.



			* 6.4 The Gram-Schmdit Process
			* Gram-Schmdit
			** $ R^n $ 의 nonzero subspace 에 orthogonal 혹은 orthogonal basis 를 만드는 알고리즘

219.255.207.60 at 06:13, 20 July 2017

2017-07-20T06:13:34Z

← Older revision		Revision as of 06:13, 20 July 2017
Line 56:		Line 56:
	** Rn에서 S = {u1, u2 , .... up}가 0이 아닌 orthogonal set이라면, S는 linearly independent이고, S에 의해 span된 subspace의 basis가 된다.		** Rn에서 S = {u1, u2 , .... up}가 0이 아닌 orthogonal set이라면, S는 linearly independent이고, S에 의해 span된 subspace의 basis가 된다.
	* An Orthogonal Projections		* An Orthogonal Projections
	** Rn에 0이 아닌 벡터 u가 있고, Rn에 존재하는 벡터 y를 두 벡터로 분해한다고 생각해보자. y를 u의 스칼라 곱인 벡터와, u와 orthogonal한 벡터로 분해한다.		** Rn에 0이 아닌 벡터 u가 있고, Rn에 존재하는 벡터 y를 두 벡터로 분해한다고 생각해보자. y를 u의 스칼라 곱인 벡터와, u와 orthogonal한 벡터로 분해한다. y = p + z 꼴
	** 벡터 y를 u에 projection한 벡터를 p라고 하자. 그러면 p = (y·u/u·u) * u 로 정의된다.		** 벡터 y를 u에 projection한 벡터를 p라고 하자. 그러면 p = (y·u/u·u) * u 로 정의된다.
	** 예시) y=(7,6), u=(4,2)라고 한다. 그러면		** 예시) y=(7,6), u=(4,2)라고 한다. 그러면
	** y·u = 40, u·u = 20이다. p = (40/20) * u 이므로 (8,4)가 된다.		** y·u = 40, u·u = 20이다. p = (40/20) * u 이므로 (8,4)가 된다.
	** u에 orthogonal한 벡터 y의 성분은 y-p = (-1,2) 이다. 따라서 y = (8,4)+(-1,2)로 분해할 수 있다.		** u에 orthogonal한 벡터 y의 성분은 y-p = (-1,2) 이다. 따라서 y = (8,4)+(-1,2)로 분해할 수 있다.
			** (8,4)는 p, (-1,2)는 z이다.
	* Orthonomal Sets		* Orthonomal Sets
	** Rn의 벡터 집합{u1, u2 , .... up}에서 벡터들이 unit vector이면 ~~orthonomal~~ set이라고 한다.		** Rn의 벡터 집합{u1, u2 , .... up}에서 벡터들이 unit vector이면 orth onomal set이라고 한다.
	** W를 위의 벡터집합에 의해 span된 subspace라고 하면, {u1, u2 , .... up}는 orthonomal basis 이다.		** W를 위의 벡터집합에 의해 span된 subspace라고 하면, {u1, u2 , .... up}는 orthonomal basis 이다.
	** mxn matrix U가 있을 때, U'U = I 이면 matrix U는 orthonomal columns을 가진다.		** mxn matrix U가 있을 때, U'U = I 이면 matrix U는 orthonomal columns을 가진다.
Line 68:		Line 69:
	** ∥Ux∥ = ∥x∥		** ∥Ux∥ = ∥x∥
	** (Ux)·(Uy) = x·y		** (Ux)·(Uy) = x·y
	** x·y=0 일 때만, (Ux)·(Uy) = 0 이다.		** x·y=0 일 때만, (Ux)·(Uy) = 0 이다.


			* 6.3 Orthogonal Projections
			* Orthogonal Decomposition
			** W를 Rn의 subspace라고 하면 Rn에 있는 y는 y = p + z로 쓸 수 있다.
			** p는 W에 존재하고, z는 W와 직교인 공간에 존재한다.
			** 만일 {u1, u2 , .... up}가 W의 orthogonal basis라면 p = (y·u1/u1·u1)u1 + ... + (y·up/up·up)up 이고, z = y-p이다.
			** 벡터 p는 orthogonal projection of y onto W라고 부른다.

			* Properties of Orthogonal Projections
			** p는 W공간에서 y에 가장 가까운 점이 된다. W공간에서 p가 아닌 모든 v에 대해 ∥y-p∥< ∥y-v∥이 성립하기 때문이다.

219.255.207.60 at 05:53, 20 July 2017

2017-07-20T05:53:33Z

← Older revision		Revision as of 05:53, 20 July 2017
Line 49:		Line 49:
	** 두 벡터 u, v에서 ∥u+v∥^2 = ∥u∥^2 + ∥v∥^2 이면, 두 벡터는 orthogonal 하다.		** 두 벡터 u, v에서 ∥u+v∥^2 = ∥u∥^2 + ∥v∥^2 이면, 두 벡터는 orthogonal 하다.
	** mxn matrix A에서 A의 row space와 null space는 orthogonal하고, A의 column space와 left nullspace는 orthogonal이다.		** mxn matrix A에서 A의 row space와 null space는 orthogonal하고, A의 column space와 left nullspace는 orthogonal이다.


			* 6.2 : Orthogonal Sets
			* Orthogonal Set 정의
			** Rn의 벡터 집합{u1, u2 , .... up}에서 ui ·uj = 0 (i≠j) 이면 orthogonal set이라고 한다.
			** Rn에서 S = {u1, u2 , .... up}가 0이 아닌 orthogonal set이라면, S는 linearly independent이고, S에 의해 span된 subspace의 basis가 된다.
			* An Orthogonal Projections
			** Rn에 0이 아닌 벡터 u가 있고, Rn에 존재하는 벡터 y를 두 벡터로 분해한다고 생각해보자. y를 u의 스칼라 곱인 벡터와, u와 orthogonal한 벡터로 분해한다.
			** 벡터 y를 u에 projection한 벡터를 p라고 하자. 그러면 p = (y·u/u·u) * u 로 정의된다.
			** 예시) y=(7,6), u=(4,2)라고 한다. 그러면
			** y·u = 40, u·u = 20이다. p = (40/20) * u 이므로 (8,4)가 된다.
			** u에 orthogonal한 벡터 y의 성분은 y-p = (-1,2) 이다. 따라서 y = (8,4)+(-1,2)로 분해할 수 있다.
			* Orthonomal Sets
			** Rn의 벡터 집합{u1, u2 , .... up}에서 벡터들이 unit vector이면 orthonomal set이라고 한다.
			** W를 위의 벡터집합에 의해 span된 subspace라고 하면, {u1, u2 , .... up}는 orthonomal basis 이다.
			** mxn matrix U가 있을 때, U'U = I 이면 matrix U는 orthonomal columns을 가진다.
			* U가 orthonomal columns를 가진 mxn matrix이고, x와 y가 Rn에 있을 때
			** ∥Ux∥ = ∥x∥
			** (Ux)·(Uy) = x·y
			** x·y=0 일 때만, (Ux)·(Uy) = 0 이다.

219.255.207.60 at 05:32, 20 July 2017

2017-07-20T05:32:30Z

@@ Line 11: / Line 11: @@
 ** 단원 내용
 식으로 작성해주시기 바랍니다.
 * 6.1 : Inner Product, Length, and Orthogonality
 * The Inner Product

219.255.207.60 at 05:30, 20 July 2017

2017-07-20T05:30:36Z

← Older revision		Revision as of 05:30, 20 July 2017
Line 11:		Line 11:
	** 단원 내용		** 단원 내용
	식으로 작성해주시기 바랍니다.		식으로 작성해주시기 바랍니다.
			* 6.1 : Inner Product, Length, and Orthogonality
			* The Inner Product
			** Rn 공간에 벡터 u와 v가 존재하면 이것들을 nx1 matrices 라고 생각할 수 있다. 이 때 u'v는 1x1 matrix가 되는데 이것을 u와 v의 inner product(내적)라고 한다. 이 값은 실수이며, 표기는 u·v 로 한다.
			* u,v,w를 Rn에 있는 벡터, c가 스칼라일 때
			** u·v = v·u
			** (u+v)·w = u·w + v·w
			** (cu)·v = c(u·v) = u·(cv)
			** u·u >= 0 이고, u·u=0은 u=0 일 때만 성립한다.
			* The Length of a Vector
			** 벡터 v의 길이는 ∥v∥= √v·v 이고 ∥v∥^2 = v·v 이다.
			** 길이가 1인 벡터를 unit vector 라고 한다.
			** 0이 아닌 벡터 v가 있을 때, unit vector인 u = (1/∥v∥)∥v∥ 이다.
			* Distance in Rn
			** Rn에 존재하는 벡터 u, v 사이의 거리는 dist(u,v)라고 쓴다. 즉 dist(u,v) = ∥u-v∥
			* Orthogonal Vectors
			** Rn에 존재하는 벡터 u, v가 있을 때, u·v = 0이면, 두 벡터는 orthogonal 하다.
			** 두 벡터 u, v에서 ∥u+v∥^2 = ∥u∥^2 + ∥v∥^2 이면, 두 벡터는 orthogonal 하다.
			** mxn matrix A에서 A의 row space와 null space는 orthogonal하고, A의 column space와 left nullspace는 orthogonal이다.

imported>jhu5689: {CREATE}

2017-07-20T04:55:26Z

{CREATE}

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__TOC__
= 스터디 설명 =
7월 20일 스터디는
* 3단원(Determinant)와 6단원(Orthogonality and Least Squares) 정리하기
** 3단원 : [[박인서]]
** 6-1 ~ 6-3 : [[전현욱]]
** 6-4 ~ 6-7 : [[정진욱]]

= 스터디 내용 =
* 단원명
** 단원 내용
식으로 작성해주시기 바랍니다.